V Colóquio Sul

Minicursos

Horário 01/08 02/08 03/08 04/08 05/08
10:30-12:00 MC1 MC2 MC1
MC2
  MC1
MC2
13:30-15:00       MC3
MC4
 
15:00-16:30 MC3
MC4
MC5
MC6
MC5
MC6
MC5
MC6
MC3
MC4



MC1 - Sistemas dinâmicos: uma primeira visão

Responsáveis: Alexandre Baraviera (IME - UFRGS), Flávia Malta Branco (IME - UFRGS), Lucas Backes (IME - UFRGS)

Descrição

O objetivo deste mini-curso é iniciar uma discussão sobre sistemas dinâmicos em nível bastante elementar. A ideia é começar discutindo um caso relativamente simples que é a dinâmica em conjuntos finitos, onde já é possível falar de conceitos básicos como órbitas periódicas e atratores, passando depois para o conjunto dos números naturais. Uma das vantagens desse contexto é que pode-se falar, num nível bastante elementar, do aspecto mensurável da dinâmica, uma vez que medidas sobre os naturais são bem fáceis de se descrever. Por outro lado a dinâmica nesse conjunto está longe de ser uma completa trivialidade: a conjectura de Collatz, também chamada de problema 3n + 1 (mais precisamente: para a função f definida sobre o conjunto dos números naturais como f(n) = 3n + 1 para n ímpar e f(n) = n/2 para n par, mostrar que a órbita periódica 1, 4, 2 é um atrator global), ainda em aberto, ilustra isso de forma bem clara e dá aos alunos um bom exemplo de uma pergunta aparentemente simples que na verdade se revela muito desafiadora. Após introduzir conceitos e ideias básicas (como atrator, órbita periódica, ω-limite) pretendemos passar a conjuntos não enumeráveis, mais especificamente explorando o espaço de sequências de um alfabeto finito (o que permite um primeiro contato com um espaço métrico mais geral) e a dinâmica do shift; por m, pretendemos exibir algo sobre dinâmica de funções denidas num intervalo da reta, estudando casos de dinâmica expansiva (nos quais é possível estabelecer uma ponte com a situação do shift) e depois fazendo um pequeno passeio pela família quadrática, onde se ilustra a noção de bifurcação.

As aulas do mini-curso serão estruturadas como segue:

Referências

  1. E. Lima, “Análise real - volume 1”, IMPA, 2009
  2. R. Devaney, “A first course in chaotic dynamical systems”, West- view press, 1992

MC2 - O teorema de Bernstein para superfícies mínimas - Cancelado

Responsável: Arlandson Matheus Silva Oliveira (UEPb)

Descrição

Inaugurando a segunda era de ouro das superfícies mínimas, com a teoria incipiente das equações diferenciais parciais, S. Bernstein [Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov 15 (1915-17), 38-45] provou em 1914 seu famoso teorema segundo o qual os planos são as únicas superfícies mínimas dadas como gráfico de uma função real de duas variáveis reais que tem, pelo menos, até as segundas derivadas parciais contínuas. O propósito deste minicurso é apresentar a demonstração deste resultado devida a J.C.C. Nitsche [Elementary proof of Bernstein’s theorem on minimal surfaces, Ann. of Math. (2) 66 (1957), 543–544].

Referências

  1. S. Bernstein, Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov 15 (1915-17), 38-45.
  2. J.C.C. Nitsche, Elementary proof of Bernstein’s theorem on minimal surfaces, Ann. of Math. (2) 66 (1957), 543-544.

MC3 - Uma introdução ao Cálculo Fracionário

Responsável: Alessio Fiscella (University of Milan-Bicocca)

Descrição

Nos últimos anos, problemas e operadores fracionários foram amplamente estudados na literatura e atraíram a atenção de muitos matemáticos vindos de diferentes áreas de pesquisa. O interesse para este tipo de operadores cresceu mais e mais, graças à estrutura não local de tipo integrodifferential e à vista de várias aplicações em uma ampla gama de contextos. Na verdade, operadores fracionários aparecem em aplicações concretas em muitos campos, como otimização, finanças, transições de fase, materiais estratificados, difusão anômala, luxação de cristais, membranas semipermeáveis, propagação de chama, leis de conservação, mecânica quântica, fluxos quase geostróficos, espalhamento múltiplo, superfícies mínimas e ciência dos materiais. O objetivo deste minicurso é fornecer as ferramentas básicas para enfrentar problemas nãolineares envolvendo o p-Laplaciano fracionário. Para isso, introduziremos várias definições para os operadores e os espaços de Sobolev fracionários, possivelmente analisando as diferenças. Finalmente, veremos algumas aplicações para problemas elípticos variacionais em um ambiente nãolocal.

O minicurso será dividido em 3 partes:

Referências

  1. R. A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York (1975).
  2. L. Brasco, E. Parini and M. Squassina, Stability of variational eigenvalues for the fractional p-Laplacian, Discrete Contin. Dyn. Syst. 36, no. 4, 1813-1845 (2016).
  3. E. Di Nezza, G. Palatucci and E. Valdinoci, Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math. 136, no. 5, 521-573 (2012).
  4. A. Fiscella, R. Servadei and E. Valdinoci, Density properties for fractional Sobolev spaces, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 40, no. 1, 235-253 (2015).
  5. G. Molica Bisci, V. D. Radulescu and R. Servadei, Variational methods for nonlocal fractional problems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 162, Cambridge University Press, Cambridge (2016).
  6. R. Servadei and E. Valdinoci, On the spectrum of two different fractional operators, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 144 , no. 4, 831-855 (2014).

MC4 - Introdução à Geometria de Distâncias

Responsável: Douglas Soares Gonçalves (UFSC)

Descrição

O problema fundamental em Geometria de Distâncias consiste em determinar a posição de objetos em um certo espaço Euclidiano de dimensão apropriada a partir de uma lista incompleta de distâncias entre pares destes objetos. Neste minicurso estudaremos alguns aspectos teóricos e algoritmos para resolver classes específicas do problema, que ocorrem em aplicações como localização de sensores em rede, ou na determinação da estrutura 3D de proteínas.

Referência: https://proceedings.science/series/23/proceedings_non_indexed/94

MC5 - Progressos recentes em teoria de regularidade elíptica e temas relacionados

Responsável: João Vitor da Silva (UNICAMP)

Descrição

Neste Minicurso apresentaremos alguns avanços mais recentes no que diz respeito ao estudo de resultados de regularidade para soluções de Equações Diferenciais Parciais elípticas (por simplicidade EDPs). Tais EDPs aparecem em diversos contextos de matemática aplicada, tais como em processos de catálise química, modelos de propagação de chamas, teoria de elasticidade e no estudo de fluidos não-Newtonianos, somente para citar alguns exemplos. Nos cenários em que analisaremos, vamos desenvolver algumas ferramen- tas que nos permitem estudar o comportamento local de soluções, inferindo assim propriedades refinadas das mesmas e de suas interfaces. Algumas aplicações de tais resultados são apresentadas em diversos contextos. O Minicurso é destinado a um público geral com formação em matemática (graduação), pessoas interessadas de áreas afins que tenham um conhecimento básico de EDPs e de suas teorias relacionadas ou amantes curiosos do conhecimento científico matemático moderno. Contamos com sua presença para aprendermos/entendermos um pouco como a matemática está presente nos avanços modernos das ciências exatas no Brasil e no mundo.

O minicurso será dividido em 3 partes:

Referências

  1. Lawrence C. Evans , Partial Differential Equations . Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathe- matical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp. ISBN: 978- 0-8218-4974-3.
  2. Xavier Fernández-Real & Xavier Ros-Oton , Theory for Elliptic PDE . Book, 2020.
  3. Djairo G. Figueiredo , Regularity Teoria Clássica do Potencial . [Clas- sical potential theory] Editora Universidade de Brasília, Rio de Janeiro 1963 iv+166 pp.
  4. Djairo Guedes de Figueiredo , O Princípio de Dirichlet . Matemática Universitária N. 1 (1985), 63-84.
  5. Djairo Guedes de Figueiredo , Métodos Variacionais em Equações Diferenciais . Matemática Universitária N. 7 (1988), 21-47.
  6. Nikos Katzourakis, An Introduction to Viscosity Solutions for Fully Nonlinear PDE with Applications to Calculus of Vari- ations in L∞ . Springer - Edition 2015, pp. 123.
  7. Augusto Ponce , Métodos Clássicos em Teoria do Potencial . Publicações Matemáticas, IMPA, Rio de Janeiro, 2009. ISBN: 978-85-244-0244-9.
  8. Julio Rossi , Tug-of-War games and PDEs . Course in Maxwell Centre for Analysis and Nonlinear PDEs. Edimburg. Scotland. May 2010.
  9. Eduardo V. Teixeira , Introdução à teoria de regularidade elíptica: uma abordagem geométrica . III ENAMA, Maringá, 2009.
  10. Noemí Wolanski , Introdución a los problemas de frontera libre . Cursos y Seminarios de Matemática - Serie B. Fascículo 2. 2007 Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exac- tas y Naturales, Universidad de Buenos Aires.

MC6 - Tópicos de Álgebra Homológica e aspectos computacionais

Responsáveis: Thiago Henrique de Freitas (UTFPR - Guarapuava), Victor Hugo Jorge Pérez (ICMC-USP), Aldício Miranda (UFU)

Descrição

Neste minicurso abordaremos algumas importantes noções da rica teoria de álgebra homológica de módulos sobre anéis comutativos. Em resumo, em um primeiro momento vamos falar brevemente sobre funtores, homologias/cohomologias, resoluções projetivas/injetivas e os funtores Ext e Tor. Na sequência, faremos um panorama geral da pesquisa em desenvolvimento dos principais problemas em aberto em álgebra comutativa que envolvem alguns destes tópicos descritos. Por fim, será realizada uma breve introdução ao software SINGULAR, a fim de se calcular computacionalmente algumas das noções descritas.

Referências

  1. W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Revised edition, Cambridge University Press, 1998.
  2. A. Grothendieck, Local Cohomology, Notes by R. Hartshorne, Lecture Notes in Math., vol 20, Springer, 1966.
  3. H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
  4. J. R. Strooker, Homological Questions in Local Algebra, London mathematical society, Lectures Notes Sries. Cambribge University Press, 1990.
  5. C.A, Weibel , An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994.